Question

东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙（如图所示）．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次（放入一球就算玩一次）先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．（一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内）．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内庄家是赢是赔；通过计算，你想到了什么？

Answer 1

分析：游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量ξ（元）；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量η+1，则η～B（7，

1

2

），利用概率公式即可求解．

解答：解：游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量ξ（元）；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量η+1，则η～B（7，

1

2

）．
因为P（ξ=-4）=P（η=0或η=7）=P（η=0）+P（η=7）=

C

0 7

(

1

2

)0(

1

2

)7+

C

7 7

(

1

2

)7(

1

2

)0=

1

26

P（ξ=-2）=P（η=1或η=6）=P（η=1）+P（η=6）=

C

1 7

(

1

2

)1(

1

2

)6+

C

6 7

(

1

2

)6(

1

2

)1=

7

26

P（ξ=0）=P（η=2或η=5）=P（η=2）+P（η=5）=

C

2 7

(

1

2

)2(

1

2

)5+

C

5 7

(

1

2

)5(

1

2

)2=

21

26

P（ξ=2）=P（η=3或η=4）=P（η=3）+P（η=4）=

C

3 7

(

1

2

)3(

1

2

)4+

C

4 7

(

1

2

)4(

1

2

)3=

35

26

2+Eξ=2+（-4）×

1

26

+（-2）×

7

26

+0×

21

26

+2×

35

26

=2+

52

26

，
一小时内有80人次玩．刚东方庄家通常获纯利为（2+

52

26

×）80=225（元）
答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑．        （12分）

点评：本题以实际问题为载体，考查概率知识的运用，分析变量满足二项分布是解题的关键．