Question

（本小题共14分）  
已知抛物线P：x2="2py" (p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．
（ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，
即到的距离为3；
∴，解得．
∴ 抛物线的方程为．     ………………4分
（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，
显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．
由， 消y得， ………………6分
，解得．       ………………7分
∴切线方程为．      ………………8分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，
设，，
由   消y得 ．  且．
∴，；
∵ ， ∴ 直线：，                              
与联立可得， 同理得．……………10分
∵ 焦点，
∴，，                           ………………12分
∴

∴ 以为直径的圆过焦点．      ………………14分

略