题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点，
为椭圆的一个焦点，离心率
，过
作两条互相垂直的直线
，
， 与椭圆交于
两点，与椭圆交于
两点，且
四点在椭圆上逆时针分布.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形
面积的最大值与最小值的比值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据题干条件得到a,b,c的值进而得到方程；（2）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．
根据题意得：
(1) c=1,e=
=
,所以a=2，b=
,所以椭圆方程为
+
=1
(2)当直线l1、l2斜率有不存在的，不妨设直线l1：x=0,直线l2：y=1
|AC|=2a=4,|BD|=
=3,设四边形ABCD的面积为S,则S=|AC||BD|=6
当直线l1、l2斜率均存在时，不妨设l1：y=kx+1,直线l2：y= (
)x+1
将l1和椭圆联立化简得：(3k2+4)x2+6kx-9=0
=36k2+36(3k2+4)>0,设A(x1,y1)、C(x2,y2), x1+x2=
x1x2=
|AC|=
=
=
同理：|BD|=
=
S=|AC||BD|==
设t=
(0,1),k2=
1,S=
=
t2+t+12(12,
], 所以S[
，6)
综上所述，Smax=6 ,Smin=,
= 
【题目】从某校随机抽取200名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).
编 号 | 分 组 | 频 数 |
1 | [0,2) | 12 |
2 | [2,4) | 16 |
3 | [4,6) | 34 |
4 | [6,8) | 44 |
续 表
编 号 | 分 组 | 频 数 |
5 | [8,10) | 50 |
6 | [10,12) | 24 |
7 | [12,14) | 12 |
8 | [14,16) | 4 |
9 | [16,18] | 4 |
合计 | 200 |
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 h的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.
