Question

10．已知函数y=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$），x∈R
（1）求y的最小正周期
（2）求y的最大值及此时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论；（2）根据正弦函数的性质得到关于x的方程，解出即可．

解答 解：（1）y=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）
=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1-cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=2[（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）]
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
（2）由（1）当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为3，
此时，x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性性问题，属于中档题．