Question

（08年杭州市质检一理）  (16分)

已知数列{b_n}满足条件: 首项b₁ = 1, 前n项之和B_n = .

(1)     求数列{b_n}的通项公式 ;

(2) 设数列{an}的满足条件：an＝ (1＋) a _n 1 ，且a₁ = 2 , 试比较a_n与的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析： (1) 当n >1时, b_n = B_n B_{n 1} = = 3n－2

   令n = 1得b1＝1, 

   ∴bn＝3n－2.                                                                                                                         5分 

（2）由an＝ (1＋) a _n 1 ，得  ∴an＝

由a₁ = 2 ,bn＝3n－2知，

    an＝(1＋)(1 + )…(1＋)2

＝(1＋1)(1＋)…(1＋)                                

又= = _,                                  5分

设c_n= ,

当n＝1时，有(1＋1) =  ＞

   当n＝2时，有an＝(1＋1)(1＋) =  = > = = c_n

假设n＝k(k≥1)时an>c_n成立，即(1＋1)(1＋)…(1＋)>成立,

则n＝k＋1时，

左边=＝ (1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋)

>(1＋)=                       3分

右边= c _{k + 1}= =

     由(ak+1)³ (c _{k + 1})³ =(3k + 1)(3k+4) =

=>0,     得ak+1 > c _{k + 1}成立.

综合上述, an>c_n对任何正整数n都成立.              3分