Question

凸四边形ABCD中，

AB

⊥

BC

，

CD

⊥

DA

，

|AB

|=

3

，|

BC

|=1，|

BD

|=

2

，则∠BAD的大小为（　　）

A．45°

B．75°

C．105°

D．135°

Answer 1

分析：根据题意画出图形，根据两对向量垂直得到∠ADC与∠ABC都为90°，从而得到A，B，C，D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BDC，在直角三角形ABC中，由边AB及BC的长，利用勾股定理求出边AC的长，根据直角三角形中，一直角边等于斜边的一半可得这条边所对的角为30°，得到∠BAC=∠BDC=30°，在三角形DCB中，由BD及BC的长，利用余弦定理求出DC的长，由两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin15°的值，然后在直角三角形ADC中，根据锐角三角函数的定义得出DC比AC得比值等于sin15°的值，从而得到∠DAC为15°，由∠DAC+∠BAC即可求出∠DAB的度数．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

由

AB

⊥

BC

，

CD

⊥

DA

，得到∠ADC=∠ABC=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，∴∠BAC=∠BDC，
连接AC，在Rt△ABC中，|AB|=

3

，|BC|=1，
根据勾股定理得：|AC|=2，
∴∠BAC=30°，
∴∠BDC=30°，
在△BDC中，|BD|=

2

，|BC|=1，
根据余弦定理得：|BC|²=|BD|²+|DC|²-2|BD||DC|cos30°，
即1=2+|DC|²-

6

|DC|，
解得：|DC|=

6 + 2

2

（大于斜边2，舍去）或|DC|=

6 - 2

2

，
则sin∠DAC=

|DC|

|AC|

=

6 - 2

4

，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

6 - 2

4

，
∴∠DAC=15°或∠DAC=165°（舍去），
则∠DAB=∠CAB+∠DAC=45°．
故选A

点评：此题考查了平面向量垂直的意义，直角三角形的性质，余弦定理，以及三角函数的恒等变形，根据题意画出相应的图形，根据直角三角形的性质及余弦定理建立三角形的边角关系，得到解决问题的目的，求值时注意角度的范围．