Question

在△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立；在凸四边形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立；在凸五边形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立．根据以上情况，猜想在凸n边形A₁A₂…A_n（n≥3）中的成立的不等式是

 

．

Answer 1

分析：根据已知中△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立；在凸四边形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立；在凸五边形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立．观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．

解答：解：由已知中已知的多边形角的倒数所满足的不等式：
△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立；
凸四边形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立；
凸五边形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立；
…
由此推断凸n边形A₁A₂…A_n（n≥3）中的成立的不等式是：

1

A1

+

1

A2

+…+

1

An

≥

n2

(n-2)π

(n≥3)
故答案为：

1

A1

+

1

A2

+…+

1

An

≥

n2

(n-2)π

(n≥3)

点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．