Question

设双曲线=1(0＜a＜b)的半焦距为c,直线l过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.

Answer 1

分析:由两点式得直线l的方程,再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式,从而求出.

解:由l过两点(a,0)、(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.

由原点到l的距离为c,得c.

将b=代入,平方后整理,得16()²-16×+3=0.令=x,

则16x²-16x+3=0,解得x=或x=.又e=,有e=.故e=或e=2.

因0＜a＜b,故e===＞,

所以应舍去e=,故所求离心率e=2.

点评:此题易得出错误答案e=2或e=,其原因是未注意到题设条件0＜a＜b,从而离心率e＞2,而＜2,应舍去.