Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(0＜a＜b)的半焦距为c，已知直线l过（a，0），（0，b）两点，且原点O到直线l的距离为

3

4

c，求此双曲线的离心率．

Answer 1

分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为

3

4

c，及又c²=a²+b²，求出离心率的平方e²，进而求出离心率．

解答：解：由题设条件知直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1即：ay+bx-ab=0
∵原点O到直线l的距离为

3

4

c∴

ab

a2+b2

=

3

4

c（4分）
又c²=a²+b²∴4ab=

3

c2从而16a²（c²-a²）=3c⁴（6分）
∵a＞0∴3e⁴-16e²+16=0解得：e²=4或e2=

4

3

（8分）
∵0＜a＜b∴e2=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

＞2（10分）
∴e²=4又e＞1
所以此双曲线的离心率为2（12分）

点评：本题考查双曲线性质．主要考查求双曲线的离心率常用的方法，注意椭圆中三参数的关系是：a²=b²+c²双曲线中三参数的关系：c²=b²+a²．的不同之处．