题目内容

已知函数 $数学公式$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 $数学公式$ 上是减函数，在 $数学公式$ 上是增函数，
（1）如果函数 $数学公式$ 的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）研究函数 $数学公式$ （常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）若把函数 $数学公式$ （常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

解：（1）由已知，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，3^m=9
因此m=2．
（2）根据题意， $\text{[math]}$ ，x≠0，
令t=x²，x≠0，则t＞0，
故y=t+ $\text{[math]}$ ，那么该函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
而t=x²在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
由复合函数的单调性，
当 $\text{[math]}$ 时，t=x²递增，t在 $\text{[math]}$ 上，则y=t+ $\text{[math]}$ 是减函数，故f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
当x∈ $\text{[math]}$ 时，t=x²递增，t在 $\text{[math]}$ 上，则y=t+ $\text{[math]}$ 是增函数，故f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
当x∈ $\text{[math]}$ ，t=x²递减，t在 $\text{[math]}$ 上，则y=t+ $\text{[math]}$ 是增函数，故f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
当x∈ $\text{[math]}$ ，t=x²递减，t在 $\text{[math]}$ 上，则y=t+ $\text{[math]}$ 是减函数，故f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
因此f（x）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上是增函数．
（3）由（2）知，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
于是当 $\text{[math]}$ ，即a＞16时， $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ，即1≤a≤16时， $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ，即0＜a＜1时，g（a）=f（1）=1+a．
因此 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意，易得由已知，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，则该函数当x= $\text{[math]}$ 时，取得最小值，有题意知其最小值为6，可得 $\text{[math]}$ ，解可得答案；
（2）根据题意，求得 $\text{[math]}$ 的定义域为x≠0，再令t=x²，x≠0，有t＞0，则y=t+ $\text{[math]}$ ，那么该函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，而t=x²在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
由复合函数的单调性分析可得答案；
（3）由（2）的结论，分可 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三种情况讨论，分别得到g（a）的表达式，即可得答案．
点评：本题考查函数单调性的运用，解题的关键在于紧扣题干所给函数的单调性的性质，并利用其解题．