Question

（本题满分13分）
设分别是椭圆C：的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标。
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程。
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

Answer 1

（1）焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）
（2）
（3）的值与点P的位置无关，同时与直线L无关

解：（1）由于点在椭圆上，  2="4,       "
椭圆C的方程为  
焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------3分
（2）设的中点为B（x, y）则点
把K的坐标代入椭圆中得
线段的中点B的轨迹方程为----------8分
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 
设
得
==
故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关.     13分