题目内容

已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N，则下面运算结果为定值的有
① $数学公式$ ② $数学公式$
③ $数学公式$ ④ $数学公式$ ．

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个

C
分析：根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N的坐标（含参数k），然后根据向量数量积公式，利用切割线定理判断 $\text{[math]}$ 为定值，即可求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，进而得到结论
解答：

解：对于①，由题意 $\text{[math]}$ ，过A作AT与圆相切，切点为T，根据切割线定理可知 $\text{[math]}$ =定值．①正确．
对于②， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 不是定值，②不正确；
对于③，对于④，因为CM⊥MN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当直线l与x轴垂直时，易得N（-1，- $\text{[math]}$ ），
则 $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ），又 $\text{[math]}$ =（1，3），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-5，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
则 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-5，
综上， $\text{[math]}$ 与直线l的斜率无关，且 $\text{[math]}$ =-5．③④正确．
正确的个数为3个．
故选C．
点评：此题考查向量的数量积的应用，切割线定理的应用，学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．