Question

已知a，b，c分别是三角形ABC的角A、B、C所对边，且a，b，c成等差数列，公差d≠0；
（1）求证：

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列．
（2）求证：0°＜B＜60°．

Answer 1

分析：（1）假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，则有

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，从而得到 a=c，这与已知d≠0相矛盾．
（2）利用余弦定理求出cosB的值，再利用基本不等式证明 cosB＞

1

2

，从而证得0°＜B＜60°．

解答：解：（1）证明：假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，则有

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，从而

a-b

ab

=

b-c

bc

，
因为a，b，c成等差数列，d≠0；所以a-b=b-c=-d，
故

-d

ab

=

-d

bc

，从而ab=bc   即a=c，这与已知d≠0相矛盾．
所以

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列．
（2）∵

cosB= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-( a+c 2 )2 2ac = 4(a2+c2)-(a+c)2 8ac

 
=

3(a2+c2)-2ac 8ac ＞ 6ac-2ac 8ac = 1 2

．
又因为B为三角形内角，所以，0°＜B＜60°．

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．还考查利用余弦定理和基本不等式证明不等式，
属于中档题．