题目内容
已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边．（1）若b2=ac，求角B的范围．
（2）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
分析：（1）根据b2=ac，代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据正弦定理把边得问题转化为角的问题，进而求得sin2A=sin2B，判断出A-B=kπ或A+B=kπ+
推断出△ABC为等腰三角形或直角三角形．
（2）根据正弦定理把边得问题转化为角的问题，进而求得sin2A=sin2B，判断出A-B=kπ或A+B=kπ+
| π |
| 2 |
解答：解：（1）∵b2=ac，∴cosB=
≥
=
，
又∵0＜B＜π?∴0＜B≤
；
（2）由正弦定理得，2RsinAcosA=2RsinBcosB
∴sin2A=sin2B，
∴2B=2kπ+2A或2B=（2k+1）π-2A
故A-B=kπ或A+B=kπ+
，
又△ABC中，A+B+C=π，
得：0＜A+B＜π，且-π＜A-B＜π．
即A-B=0或A+B=
．
也即△ABC为等腰三角形或直角三角形．
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
又∵0＜B＜π?∴0＜B≤
| π |
| 3 |
（2）由正弦定理得，2RsinAcosA=2RsinBcosB
∴sin2A=sin2B，
∴2B=2kπ+2A或2B=（2k+1）π-2A
故A-B=kπ或A+B=kπ+
| π |
| 2 |
又△ABC中，A+B+C=π，
得：0＜A+B＜π，且-π＜A-B＜π．
即A-B=0或A+B=
| π |
| 2 |
也即△ABC为等腰三角形或直角三角形．
点评：本题主要考查了三角形的形状判断．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的互化．
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