Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则

sinAcotC+cosA

sinBcotC+cosB

的范围是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、(0，

  5 +1

  2

  )
• C、(

  5 -1

  2

  ，

  5 +1

  2

  )
• D、(

  5 -1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角和之间的关系，最后角化边，得到要求的范围既是公比的范围，用公比表示出三条边，根据两边之和大于第三边，得到不等式组，得到结果．

解答：解：设三边的公比是q，三边为a，aq，aq²，
原式=

sinAcosC sinC +cosA

sinBcosC sinC +cosB

=

sinAcosC+cosAsinC

sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)

sin(B+C)

=

sinB

sinA

=

b

a

=q
∵aq+aq²＞a，①
a+aq＞aq²②
a+aq²＞aq，③
解三个不等式可得q＞

5 -1

2

0＜q＜

5 +1

2

，
综上有

5 -1

2

＜q＜

5 +1

2

，
故选C．

点评：这是一个综合题目，包括三角函数的恒等变化，三角形内角之间的关系，一元二次不等式的解法，等比数列的应用，变量的范围的求解，化归思想的应用．