题目内容
某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-
（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（Ⅰ） 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（Ⅱ） 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】分析：（1）确定产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式，根据每件产品的销售价格，即可得到结论；
（2）利用基本不等式，求最大值即可．
解答：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-
，
每件产品的销售价格为
（万元），
∴利润函数y=x×
-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3-
）-m=-[
]+29（m≥0），
（2）当m≥0时，
≥
=8
y≤-8+29=21，当且仅当
，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．
所以，该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
点评：本题考查商品利润函数模型的应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
（2）利用基本不等式，求最大值即可．
解答：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-
，每件产品的销售价格为
（万元），∴利润函数y=x×
-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3-
）-m=-[
]+29（m≥0），（2）当m≥0时，
≥
=8y≤-8+29=21，当且仅当
，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．所以，该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
点评：本题考查商品利润函数模型的应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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万件与年促销费用
万元（
（
为
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万元（
（
为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．