题目内容

某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足
x=3-
km+1
（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（Ⅰ） 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（Ⅱ） 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
分析：（1）确定产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式，根据每件产品的销售价格，即可得到结论；
（2）利用基本不等式，求最大值即可．
解答：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-
2
m+1
，
每件产品的销售价格为1.5×
8+16x
x
（万元），
∴利润函数y=x×1.5×
8+16x
x
-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3-
2
m+1
）-m=-[
16
m+1
+(m+1)]+29（m≥0），
（2）当m≥0时，
16
m+1
+(m+1)≥2
16
m+1
×(m+1)
=8
y≤-8+29=21，当且仅当
16
m+1
=m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．
所以，该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
点评：本题考查商品利润函数模型的应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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km+1
（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（I）求k的值，并求年促销费用为9万元时，该厂的年产量为多少万件？
（II）将2012年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
（Ⅲ）该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值．

(本小题满分12分) 某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的

年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（（为

 

常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的

固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格

定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

(Ⅰ) 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；

(Ⅱ) 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

 

某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

 (Ⅰ) 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；

(Ⅱ) 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?
某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足
x=3-（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（Ⅰ） 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（Ⅱ） 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

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