Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0 ， y0）是椭圆 + =1上的一点，从原点O向圆R（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=12作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点．
（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，分别记为k1 ， k2 ， 求k1k2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆R的半径r=2 ，

∵OP⊥OQ，∴|OR|= r=2 ，∴x02+y02=24，

又点R在椭圆C上，∴ ，

联立 ，解得 ．

∴圆R的方程为 （x﹣2 ）2+（y﹣2 ）2=12

（2）解：直线OP方程为：k1x﹣y=0，直线OQ的方程为：k2x﹣y=0．

∵OP，OQ为圆R的切线，

∴ =2 ， ．

∴k1，k2为方程 的两根，

∴ ，

∵点R在椭圆C上，∴ ，即 ，

∴ ．

【解析】（1）利用切线的性质可求出|OR|=2 ，又R在椭圆上．列方程组解出R点坐标；（2）根据R到OP，OQ的距离为2 得出k1 ， k2为某个一元二次方程的解，根据距离公式得出这个一元二次方程，结合R为椭圆上的点得出k1k2的值．