题目内容

若 $数学公式$ 的展开式中第三项是常数项，则n=，展开式中各项的系数和为．

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分析：根据二项式定理，易得 $\text{[math]}$ 的通项，由题意，第三项是常数项，则有r=2时，T₃为常数项，可得 $\text{[math]}$ =0，解可得n的值，进而可得二项式为（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）⁶，令x=1可得展开式中各项的系数和．
解答：根据题意， $\text{[math]}$ 的通项为T_r+1=C_n^r（ $\text{[math]}$ ）^n-r•（- $\text{[math]}$ ）^r=（-1）^r•C_n^r（2）^r•（ $\text{[math]}$ ）
由题意，第三项是常数项，则有r=2时，T₃=（-1）²•C_n²（2）²•（ $\text{[math]}$ ）=4C_n²•（ $\text{[math]}$ ），为常数项，
即 $\text{[math]}$ =0，解可得n=6；
则该二项式为（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）⁶，令x=1可得，可得（1- $\text{[math]}$ ）⁶=1，
则其展开式中各项的系数和为1．
故答案为：6；1．
点评：本题考查二项式定理的应用与二项式系数的性质，解此类题目要注意区分展开式中各项的系数和与二项式系数和．

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