Question

已知数列{an}，其中a2＝6且.

(1)计算a1，a3，a4；并求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}为等差数列，其中bn＝且c为不等于零的常数，求Sn＝b1＋b2＋…＋bn

Answer 1

解：(1)∵a2＝6，＝1，＝2，＝3，解得a1＝1，a3＝15，a4＝28.

由上面的a1，a2，a3，a4的值可以猜想an＝n(2n－1)．

下面用数学归纳法加以证明：

①当n＝1时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立．

②假设当n＝k时，结论正确，即

ak＝k(2k－1)，

则当n＝k＋1时，有＝k，

∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)ak－(k＋1)＝(k＋1)·k(2k－1)－(k＋1)＝(k＋1)(2k2－k－1)

＝(k＋1)(2k＋1)(k－1)(k－1≠0)．

∴ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]．

即当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，{an}的通项公式

an＝n(2n－1)．

(2)∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即

∵a1＝1，a2＝6，a3＝15且c≠0，

由上式解得c＝－∴bn＝＝2n.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n＋1)．