Question

（本小题满分14分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为．设该动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线方程；

（2）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，面积的最小值及此时点的坐标.

Answer 1

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据题意利用圆的性质，求出轨迹方程；（2）解决直线和抛物线 的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（1）设动圆圆心坐标为，根据题意得

， （2分）

化简得. （2分）

（2）解法一：设直线的方程为，

由消去得

设，则，且 （2分）

以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为

即

同理过点的切线的方程为

设两条切线的交点为在直线上，

，解得，即

则：，即 （2分）

代入

到直线的距离为 （2分）

当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （4分）

解法二：设在直线上，点在抛物线

上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为

即

同理以点为切点的方程为 （2分）

设两条切线的均过点，则，

点的坐标均满足方程

，即直线的方程为： （2分）

代入抛物线方程消去可得：

到直线的距离为 （2分）

所以当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （4分）

考点：解析几何的标准方程的求解，与直线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。