题目内容
11.(1)求椭圆C的方程;
(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C交于P,Q(异与椭圆C的左、右顶点A1,A2两点),设直线PA1与直线QA2相交于点M.
①若M(4,2),试求点P,Q的坐标;
②求证:点M始终在一条定直线上.
分析 (1)由椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)①求得直线MA1的方程和以MA2的方程,代入椭圆方程,求得交点P,Q的坐标;
②设点M(x0,y0),求得直线MA1的方程和以MA2的方程,代入椭圆方程,求得交点P,Q的坐标,结合P,Q,B三点共线,所以kPB=kQB,化简整理,可得x0-4=0或$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y02=1.分别考虑,即可得到点M始终在一条定直线x=4上.
解答 解:(1)由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(2)①因为A1(-2,0),A2(2,0),M(4,2),
所以MA1的方程为y=$\frac{1}{3}$(x+2),代入x2+4y2=4,
x2-4+4[$\frac{1}{3}$(x+2)]2=0,即(x+2)[(x-2)+$\frac{4}{9}$(x+2)]=0
因为A1的横坐标为-2,所以xP=$\frac{10}{13}$,则yP=$\frac{12}{13}$,
所以点P的坐标为($\frac{10}{13}$,$\frac{12}{13}$).
同理可得点Q的坐标为($\frac{6}{5}$,-$\frac{4}{5}$).
②证明:设点M(x0,y0),由题意xM≠±2.因为A1(-2,0),A2(2,0),
所以直线MA1的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$(x+2),代入x2+4y2=4,
得x2-4+4[$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$(x+2)]2=0,即(x+2)[(x-2)+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{({x}_{0}+2)^{2}}$(x+2)]=0
因为A1的横坐标为-2,
所以xP=$\frac{2-\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{({x}_{0}+2)^{2}}}{1+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{({x}_{0}+2)^{2}}}$=$\frac{4({x}_{0}+2)^{2}}{({x}_{0}+2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$-2,则yP=$\frac{4({x}_{0}+2){y}_{0}}{({x}_{0}+2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$,
故点P的坐标为($\frac{4({x}_{0}+2)^{2}}{({x}_{0}+2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$-2,$\frac{4({x}_{0}+2){y}_{0}}{({x}_{0}+2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$),
同理可得点Q的坐标为($\frac{-4({x}_{0}-2)^{2}}{({x}_{0}-2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$+2,$\frac{-4({x}_{0}-2){y}_{0}}{({x}_{0}-2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$)
因为P,Q,B三点共线,所以kPB=kQB,$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-1}$=$\frac{{y}_{Q}}{{x}_{Q}-1}$.
所以$\frac{\frac{4({x}_{0}+2){y}_{0}}{({x}_{0}+2)^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{\frac{4({x}_{0}+2)^{2}}{({x}_{0}+2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}-2-1}$=$\frac{\frac{-4({x}_{0}-2){y}_{0}}{({x}_{0}-2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}}{\frac{-4({x}_{0}-2)^{2}}{({x}_{0}-2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}+2-1}$,即$\frac{({x}_{0}+2){y}_{0}}{({x}_{0}+2)^{2}-12{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{-({x}_{0}-2){y}_{0}}{-3({x}_{0}-2)^{2}+4{{y}_{0}}^{2}}$,
由题意,y0≠0,所以$\frac{{x}_{0}+2}{({x}_{0}+2)^{2}-12{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}-2}{3({x}_{0}-2)^{2}-4{{y}_{0}}^{2}}$,
即3(x0+2)(x0-2)2-4(x0+2)y02=(x0-2)(x0+2)2-12(x0-2)y02,
所以(x0-4)($\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y02-1)=0,则x0-4=0或$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y02=1.
若$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y02=1,则点M在椭圆上,P,Q,M为同一点,不合题意.
所以xM=4,即点M始终在定直线x=4上.
点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,解方程求交点,同时考查三点共线的条件,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
| A. | y=$\frac{1}{2}$x | B. | y=±$\frac{1}{2}$x | C. | y=-$\frac{1}{2}$x | D. | y=±2x |
| A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 2 | C. | 3 | D. | $\frac{5}{2}$ |
| A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | 1 | D. | 2 |