Question

5．设函数f（x）=sinx（sinx+cosx）
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]时，f（x）≥t-$\frac{12}{t}$恒成立，求实数t的取值范围
（3）若函数f（x）在[0，a]上的值域为[0，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 首先利用降幂公式及辅助角公式化简．
（1）直解把x=$\frac{π}{8}$代入函数解析式化简求值；
（2）由x的范围求出相位的范围，进一步得到函数的值域，结合f（x）≥t-$\frac{12}{t}$恒成立，转化为关于t的不等式求解；
（3）由x∈[0，a]得到2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}，2a-\frac{π}{4}$]，再由函数的值域得到$sin（2x-\frac{π}{4}）$∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]，从而得到$\frac{π}{2}≤2a-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，由此可得a的范围．

解答 解：f（x）=sinx（sinx+cosx）=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
（1）f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2×\frac{π}{8}-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，∴2x$-\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}$]，
则sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]，f（x）∈[1，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]，
由f（x）≥t-$\frac{12}{t}$恒成立，得$t-\frac{12}{t}≤1$，解得：-3≤t≤4；
（3）由x∈[0，a]，得2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}，2a-\frac{π}{4}$]，
∵函数f（x）在[0，a]上的值域为[0，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$]，
则$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）∈$[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，即$sin（2x-\frac{π}{4}）$∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
则$\frac{π}{2}≤2a-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，解得：$\frac{3π}{8}≤a≤\frac{3π}{4}$．
∴实数a的取值范围是[$\frac{3π}{8}，\frac{3π}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数最值的求法，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，考查了计算能力，是中档题．