Question

已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（x，y），（-8，0）和（-2，0）．
（1）求证：AB=2AC的充要条件为x²+y²=16（y≠0）；
（2）若AB²+AC²=50，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，利用两点间的距离公式可得AB=2AC 等价于

(x+8)2+ y2

=2

(x+2)2+y2

（y≠0），化简即x²+y²=16（y≠0）．
（2）若AB²+AC²=50，由基本不等式可得AB×AC≤25．△ABC中，由余弦定理求得cosA 的值，可得 sinA 的值，代入△ABC面积为

1

2

×AB×AC sinA化简得△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）证明：△ABC中，AB=2AC等价于

(x+8)2+ y2

=2

(x+2)2+y2

 （y≠0），
即（x+8）²+y²=4（x+2）²+4y² （y≠0），
即 x²+y²=16（y≠0）．
故AB=2AC的充要条件为x²+y²=16（y≠0）．
（2）若AB²+AC²=50，则  50≥2AB×AC，∴AB×AC≤25．
△ABC中，由余弦定理可得 36=AB²+AC²-2AB•ACcosA=50-2AB•ACcosA，∴cosA=

7

AB×AC

，∴sinA=

1- 49 (AB•AC)2

．
故△ABC面积为

1

2

×AB×AC sinA=

1

2

(AB×AC )2- 49

≤

1

2

252-49

=12．
故△ABC面积的最大值为12．

点评：本题主要考查两点间的距离公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．