Question

18．用适当的方法证明下列不等式
（1）已知a，b，c是正实数，证明不等式$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}$≥abc；
（2）求证：当a＞1时，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c是正实数，运用均值不等式和不等式的可乘性，即可得证；
（2）运用分析法证明，通过两边平方，化简整理，可得a²-1＜a²，这显然成立，即可得证．

解答 证明：（1）∵a，b，c是正实数，
∴$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，$\frac{b+c}{2}≥\sqrt{bc}$，$\frac{c+a}{2}≥\sqrt{ca}$，
∴$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}≥abc$，
当且仅当a=b=c时等号成立．
（2）∵$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＞0，2\sqrt{a}＞0$，
∴只要证${（\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}）^2}＜{（2\sqrt{a}）^2}$，
即要证$2a+2\sqrt{{a^2}-1}＜4a$，
即要证$\sqrt{{a^2}-1}＜a$，
即要证a²-1＜a²，这显然成立，
所以当a＞1时，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式和分析法证明，考查运算和推理能力，属于中档题．