Question

（2012•浦东新区二模）记数列{a_n}的前n项和为S_n．已知向量

a

=(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)（n∈N^* ）和

b

= (an，cos

nπ

3

-sin

nπ

3

) （n∈N^* ）满足

a

∥

b

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S₃₀；
（3）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项的和为T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得 a_n=λ(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)，且 λ=cos

nπ

3

-sin

nπ

3

，故a_n=（cos

nπ

3

-sin

nπ

3

）•(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)=cos

2nπ

3

．
（2）根据数列{a_n}的前几项分别为1，-

1

2

，-

1

2

，1，-

1

2

，-

1

2

，1，-

1

2

，-

1

2

，…可得{a_n}为周期为3的周期数列，且 a_3k-2+a_3k-1+a_3k=0，k∈z，由此求得S₃₀ 的值．
（3）根据b_n=na_n =n cos

2nπ

3

，分 n=3k，n=3k-1，n=3k-2，分别求出数列{b_n}的前n项的和为T_n．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，∴

b

=λ

a

=λ(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)，再由

b

= (an，cos

nπ

3

-sin

nπ

3

)，
可得 a_n=λ(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)，且 λ=cos

nπ

3

-sin

nπ

3

．
∴a_n=（cos

nπ

3

-sin

nπ

3

）•(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)=cos2

nπ

3

-  sin2

nπ

3

=cos

2nπ

3

．
（2）数列{a_n}的前几项分别为1，-

1

2

，-

1

2

，1，-

1

2

，-

1

2

，1，-

1

2

，-

1

2

，…为周期为3的周期数列，
且 a_3k-2+a_3k-1+a_3k=0，k∈z． 
故 S₃₀ =0．
（3）∵b_n=na_n =n cos

2nπ

3

，故当 n=3k，k∈N^* 时，
∵b_3k-2+b_3k-1+b_3k=（3k-2）（-

1

2

）+（3k-1）（-

1

2

）+3k•1=

3

2

，
∴T_n=T_3k=

3k

2

=

3

2

×

n

3

=

n

2

．
当 n=3k-1，k∈N^*时，T_n=T_3k-1=T_3k-b_3k=

3k

2

-3k•1=-

3k

2

=-

3

2

•

n+1

3

=-

n+1

2

．
当 n=3k-2，k∈N^* 时，
T_n=T_3k-2-b_3k-b_3k-1=

3k

2

-3k-（3k-1）（-

1

2

）=-

3k

2

+

3k -1

2

=-

1

2

．
故 T_n=

n 2   ， (n=3k) - n+1 2 ， (n=3k-1) - 1 2  ，   (n=3k-2)

．

点评：本题主要考查数列的函数的函数特性，数列求和，两个向量共线的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．