Question

设函数f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：对函数f（x）=sinx-cosx+x+1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值．

解答：解：由f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，知f'（x）=1+

2

sin（x+

π

4

）．
令f'（x）=0，从而可得sin（x+

π

4

）=-

2

2

，得x=π，或x=

3π

2

，
当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：

x	（0，π）	π	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↑	π+2	单调递减↓	3π 2	单调递增↑

因此，由上表知f（x）的单调递增区间是（0，π）与（

3π

2

，2π），
单调递减区间是（π，

3π

2

），极小值为f(

3π

2

)=

3π

2

，极大值为f（π）=π+2

点评：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力．对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点．