Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

bc

b2+c2-a2

=tanA
（1）求角A；
（2）设函数f（x）=sinx+2sinAcosx将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

，再由已知

bc

b2+c2-a2

=tanA 可得sinA=

1

2

，
从而求得 A 的值．
（2）由（1）可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得函数y=g（x）=

2

sin（2x-

π

12

），由此求得函数g（x）的对称中心．令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，
可得函数y=g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

，再由已知

bc

b2+c2-a2

=tanA 可得
tanA=

1

2cosA

，sinA=

1

2

，∴A=

π

6

，或 A=

5π

6

．
（2）由（1）可得函数f（x）=sinx+2sinAcosx=

2

sin（x+

π

4

），
将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，可得y=

2

sin（2x+

π

4

）的图象；
把所得图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）=

2

sin[2（x-

π

6

）+

π

4

]=

2

sin（2x-

π

12

） 的图象．
令 2x-

π

12

=kπ，k∈z，可得x=

kπ

2

+

π

24

，k∈z，故函数g（x）的对称中心为（

kπ

2

+

π

24

，0），k∈z．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

24

≤x≤kπ+

7π

24

，k∈z，
故函数y=g（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

24

，kπ+

7π

24

]，k∈z．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，对称性，余弦定理的应用，属于中档题．