Question

 

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点,,求点的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，     ---------------2分

所以椭圆的标准方程为        ---------------4分

（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。---------------8分

（i）时。化简得    

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。---------------10分

（ii）时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足

的部分。---------------13分

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆

---------------16分

说明：没有考虑的至少要扣5分