题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）若直线
与平面
所成的线面角的正弦值为
，求
长.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据线面垂直性质可得
，再根据题中
，即可由线面垂直的判定定理证明
平面
；
（2）先证明
为等腰三角形，然后以
中点
为原点，
，
，
为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，设
，写出各个点的坐标，并求得平面
的法向量，再根据直线
与平面所成的线面角的正弦值求得
的值，即可求得
长.
（1）证明：∵
平面
，
平面，
∴，
∵，
平面，
，
∴平面.
（2）∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
，
∴为等腰三角形.
以中点为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则
，
，
，
，
∴
.
设平面的法向量为
，
∵
，
，
∴
，令
，则
，
，∴
.
∴
，解得
.
∴
.
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