Question

【题目】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：到直线的距离为定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】

（1）结合离心率，计算出a,b,c之间的关系，利用点到直线距离，计算a,b值，即可。（2）分直线AB斜率存在与不存在讨论，结合直线方程和椭圆方程,并利用,计算O到直线距离,即可.

（1）∵椭圆的离心率，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵椭圆的左顶点到直线，即到的距离，

∴，

把代入得：，解得：，

∴，，

∴椭圆的方程为.

（2）设，

①当直线的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：，，

∵当直线的斜率不存在时，以为直径的圆经过坐标原点，

∴，即，也就是，

又∵点在椭圆上， ∴，

∵以为直径的圆经过坐标原点，且平行于轴，

∴，∴，解得：

此时点到直线的距离

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

与椭圆方程联立有，消去，得

∴，，

同理：，消去，得，

即，∴

∵为直径的圆过坐标原点，所以，∴

∴

∴

∴

∴点到直线的距离

综上所述，点到直线的距离为定值.