Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且C与y轴交于两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求P点横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的焦距为，可得，由可得 ，结合可得,进而可得结果；（2）设，可得，直线的方程为，同理得直线的方程为， 求得，，可得圆的方程为，利用这个圆与轴相交,方程有两个不同的实数解，即可得结果．

试题解析：（Ⅰ）由题意可得，，所以,， 椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，，

所以，直线的方程为，

同理得直线的方程为，

直线与直线的交点为，

直线与直线的交点为，线段的中点，

所以圆的方程为．

令，则， 因为，所以，

因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解，

则，又0，解得．

解法二:直线的方程为，与椭圆联立得：，，

同理设直线的方程为可得，

由，可得，

所以，，的中点为，

所以为直径的圆为．

时，，所以，

因为为直径的圆与轴交于两点，所以，

代入得：，所以，

所以在单增，在单减，所以．