题目内容

19．若曲线y=ax2-2lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=1．

分析 求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由导数值为0求得a的值．

解答 解：由y=ax2-2lnx，得
${y}^{′}=2ax-\frac{2}{x}$，则y′|x=1=2a-2，
∵曲线y=ax2-2lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，
∴2a-2=1，即a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．

练习册系列答案
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9．（文）已知函数f（x）=k（x-1）ex+x2．
（1）求导函数f′（x）；
（2）当k=-$\frac{1}{e}$时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程．
10．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}m{x^3}-（m+1）{x^2}$+（m+2）x，其中m＜0．
（1）求f′（1）的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-1，1]，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于m，求m的取值范围．
7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②④⑤（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，S为四边形；
②当CQ=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形；
③当$\frac{3}{4}$＜CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ=$\frac{3}{4}$时，S与C1D1的交点R满足C1R=$\frac{1}{3}$；
⑤当CQ=1时，S的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
14．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m?α，l?β且α∥β，则m∥l；
④若l?β，l⊥α，则α⊥β；
其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）
4．设函数f（x）=alnx+bx，g（x）=x2．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x-4，求a，b的值．
（2）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在实数k和m，使得不等式f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m都在各自定义域内恒成立，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由．
11．对于函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$，给出下列结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）
③函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点；
④若x1≠x2，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0
⑤若x1＜x2，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$$＜f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$
其中所有正确结论的序号为①②④．
8．已知函数f（x）=a（x+1）ln（x+1）图象上的点（e2-1，f（e2-1））处的切线与直线x+3y+1=0垂直（e=2.71828）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数y=2f（x-1）与y=x3-mx（m＞1）的图象在区间[$\frac{1}{e}$，e]上交点的个数；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+em）en＜（1+en）em．
9．已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，周长a+b+c=$\sqrt{2}$+1，△ABC的面积为$\frac{1}{6}$sinC．
（1）求边c的长；
（2）求ab的值；
（3）求角C的度数．

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