Question

【题目】设，其中.

（1）当q=1时，化简：；

（2）当q=n时，记，试比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1） (2) 当n=1，2时，；当时，

【解析】

(1) 当q=1时，,从而得到结果；

(2) 当q=n时，由二项式定理可得，猜想、归纳，用数学归纳法加以证明即可.

（1）当q=1时，，

由于

，

其中.

所以原式

（2）【解法一】当q=n时，，

所以，所以，

令x=1，得，

当n=1，2时，；当时，，即.

下面先用数学归纳法证明：当时，，……（☆）

①当n=3时，，（☆）式成立；

②设时，（☆）式成立，即，

则时，（☆）式右边

.

这就是说，当，（☆）式也成立.

综合①②知，当时，.

所以，当n=1，2时，；当时，

【解法二】

当q=n时，，

所以，所以，

令x=1，得，.

要比较与的大小，即可比较与的大小，

设，则，

由，得，所以在上递增，

由，得，所以在上递减，

所以当n=1，2时，，

当时，，即，

即，即，

综上所述，当n=1，2时，；当时，.

【解法三】

当q=n时，，

所以，所以，

令x=1，得，

当n=1，2时，；当时，.

下面用数学归纳法证明：，，，……（*）

①当n=3时，，因为，所以（*）式成立；

②设时，（*）式成立，即有，

所以（因为）.

又因为，即，

所以，

即，所以，当时，（*）式也成立.

综合①②，对任何，都成立.

所以，当n=1，2时，；当时，.