题目内容

已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.


解析:

设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)

对于C1: y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为

y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12                       ①

对于C2: y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为

y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4           ②

∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,

解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0

∴直线l方程为y=0或y=4x－4

练习册系列答案
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已知曲线C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4
5
，曲线C1的内切圆半径为
2
5
3
．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
已知曲线C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t为参数），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为DF=
MF2+DM2
=
302+1702
=10
198
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x-2y-7=0距离的最小值．
（2012•湖南）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：
x=t+1
y=1-2t
（t为参数）与曲线C2：
x=asinθ
y=3cosθ
（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于
3
2
3
2
．
（2012•绵阳二模）已知曲线C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）和曲线C2=：x2+y2-2
3
x+2y+3=0義于直线l1对称，直线l2过原点且与l1的夹角为30°，则直线l2的方程为（　　）
已知曲线C1：
x=-2+cost
y=1+sint
 （t为参数），C2：
x=4cosθ
y=3sinθ
（q为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为
π
4
的直线l交曲绒C1于A，B两点，求|AB|．

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