题目内容

焦点分别为F₁，F₂的椭圆 $数学公式$ 过点M（2，1），抛物线 $数学公式$ 的准线过椭圆C的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点，若 $数学公式$ • $数学公式$ =0，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

（Ⅰ）解：由2p= $\text{[math]}$ ，∴p= $\text{[math]}$ ，∴抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为 $\text{[math]}$ ．
故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴椭圆方程可化为 $\text{[math]}$ ，又椭圆过点M（2，1），
∴ $\text{[math]}$ ，则a⁴-8a²+12=0，
∵a²＞3，解得：a²=6．
∴所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）证明：①若直线l⊥x轴，直线l可设为x=m（m≠2），则直线l与椭圆交于
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
即3m²-8m+4=0．
解得：m=2（舍）或 $\text{[math]}$ ，
故直线l的方程为 $\text{[math]}$ ．
②若直线l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+n．
直线l与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 $\text{[math]}$ ?（1+2k²）x²+4knx+2n²-6=0．
由△＞0，得：（4kn）²-4（1+2k²）（2n²-6）＞0，即6k²-n²+3＞0．
由根与系数关系得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 得：（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，
又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，
故 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
∴4k²+8kn+（3n+1）（n-1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n-1）=0．
∴ $\text{[math]}$ 或n=-2k+1．
而 $\text{[math]}$ 或n=-2k+1满足△＞0．
∴直线l为 $\text{[math]}$ 或y=kx-2k+1=k（x-2）+1．
由于直线l不过M，∴直线y=kx-2k+1=k（x-2）+1不合题意．
∴直线l为 $\text{[math]}$ ．
综合①②，直线l为为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
故直线l恒过定点 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由抛物线方程写出其准线方程，从而求出椭圆焦点坐标，把点M的坐标代入椭圆方程后，结合a²=b²+c²可求椭圆方程；
（Ⅱ）分直线l垂直于坐标轴和不垂直坐标轴两种情况进行讨论，直线垂直坐标轴时，把直线方程代入椭圆方程求出A，B的坐标，由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0解出m的值，直线不垂直坐标轴时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后由判别式大于0得到直线斜率和在y轴上的截距满足的关系式，再由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0把直线的截距用斜率表示，代回直线方程后由线系方程可得直线恒过定点．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了分类讨论的数学思想，证明直线l恒过定点时，综合考查了向量知识、直线系方程及学生的运算能力，此题属难题．