题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得
PF1
PF2
=e，则该离心率e的取值范围是
[
2
-1，1）
[
2
-1，1）
．
分析：由
PF1
PF2
=e结合椭圆离心率的定义可得
PF1
PF2
+1=
PF2+PF1
PF2
=
2a
PF2
=e+1，可求得PF2=
2a
e+1
，而a-c≤PF2≤a+c，从而可求得离心率e的取值范围．
解答：解：依题意，得
PF1
PF2
+1=
PF2+PF1
PF2
=
2a
PF2
=e+1，
∴PF2=
2a
e+1
，又a-c≤PF2≤a+c，
∴a-c≤
2a
e+1
≤a+c，不等号两端同除以a得，
1-e≤
2
e+1
≤1+e，
∴
1-e2≤2
1+e≥
2
，解得e≥
2
-1，
又0＜e＜1，
∴
2
-1≤e＜1．
故答案为：[
2
-1，1）
点评：本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得PF2=
2a
e+1
，利用a-c≤PF2≤a+c解决问题是关键，也是难点，属于中档题．
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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