Question

已知a∈R，解关于x的不等式ax²-2≥2x-ax．

Answer 1

分析：分类讨论：当a=0时，不等式ax²-2≥2x-ax化为-2≥2x，解得即可．
当a≠0时，不等式ax²-2≥2x-ax可化为a(x-

2

a

)(x+1)≥0（*）．
当a＞0时，（*）不等式化为(x-

2

a

)(x+1)≥0，解得即可；
当a=-2时，（*）不等式化为（x+1）²≤0，解得即可；
当a＜-2时，（*）不等式化为(x-

2

a

)(x+1)≤0，解得即可；
当-2＜a＜0时，（*）不等式化为(x-

2

a

)(x+1)≤0，解得即可．

解答：解：①当a=0时，不等式ax²-2≥2x-ax化为-2≥2x，解得x≤-1，此时原不等式的解集为{x|x≤-1}；
②当a≠0时，不等式ax²-2≥2x-ax可化为a(x-

2

a

)(x+1)≥0（*）．
当a＞0时，（*）不等式化为(x-

2

a

)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥

2

a

，此时原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥

2

a

}；
当a=-2时，（*）不等式化为（x+1）²≤0，解得x=-1，此时原不等式的解集为{x|x=-1}；
当a＜-2时，（*）不等式化为(x-

2

a

)(x+1)≤0，解得-1≤x≤

2

a

，此时原不等式的解集为{x|-1≤x≤

2

a

}；
当-2＜a＜0时，（*）不等式化为(x-

2

a

)(x+1)≤0，解得

2

a

≤x≤-1，此时原不等式的解集为
{x|

2

a

≤x≤-1}．
综上可知：当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤-1}；
当a＞0时，原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥

2

a

}；
当a=-2时，原不等式的解集为{x|x=-1}；
当a＜-2时，原不等式的解集为{x|-1≤x≤

2

a

}；
当-2＜a＜0时，原不等式的解集为{x|

2

a

≤x≤-1}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，正确分类和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，属于难题．