Question

（2013•丰台区一模）已知函数f(x)=

1

x+a

，g（x）=bx²+3x．
（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数φ(x)=

g(x)

f(x)

的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，得

h(1)=0 h′(1)=0.

，由该方程组即可解得a，b值；
（Ⅱ） 由ab=8可把φ（x）表示出含a的函数，求导φ′（x），在定义域内解不等式φ′（x）＞0，φ′（x）＜0即得单调区间；由a∈[3，+∞），得-

3a

4

≤-

9

4

，-

a

6

≤-

1

2

，按照极大值点-

a

6

在区间[-2，-1]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论即可得到答案；

解答：解：（Ⅰ）函数h（x）定义域为{x|x≠-a}，
则h′(x)=f′(x)-g′(x)=-

1

(x+a)2

-2bx-3，
∵h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，
∴

h(1)=0 h′(1)=0.

，即

1 1+a -b-3=0 - 1 (1+a)2 -2b-3=0.

，解得

a=0 b=-2

或

a=- 4 3 b=-6.

；
（Ⅱ）φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵ab=8，所以b=

8

a

，∴φ(x)=(x+a)(

8

a

x2+3x)（x≠-a），
∴φ′(x)=

1

a

(24x2+22ax+3a2)=

1

a

(4x+3a)(6x+a)，
令φ'（x）=0，得x=-

3

4

a，或x=-

1

6

a，
∵因为a∈[3，+∞），∴所以-

3

4

a＜-

1

6

a，
∴故当x＜-

3

4

a，或x＞-

1

6

a时，φ'（x）＞0，当-

3

4

a＜x＜-

1

6

a时，φ'（x）＜0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为(-∞，-a)，(-a，-

3

4

a)，(-

1

6

a，+∞)，单调递减区间为(-

3

4

a，-

1

6

a)，
∵a∈[3，+∞），∴-

3a

4

≤-

9

4

，-

a

6

≤-

1

2

，
①当-

a

6

≤-2，即a≥12时，∵φ（x）在[-2，-1]单调递增，
∴φ（x）在该区间的最小值为φ(-2)=-

64

a

+44-6a；
②当-2＜-

a

6

＜-1，即6＜a＜12时，
∵φ（x）在[-2，-

a

6

）上单调递减，在(-

a

6

，-1]上单调递增，
∴φ（x）在该区间的最小值为φ(-

a

6

)=-

25

108

a2；
③当-

a

6

≥-1时，即3≤a≤6时，∵φ（x）在[-2，-1]单调递减，
∴φ（x）在该区间的最小值为φ(-1)=-

8

a

+11-3a，
综上所述，当3≤a≤6时，最小值为-

8

a

+11-3a；当6＜a＜12时，最小值为-

25

108

a2；当a≥12时，最小值为-

64

a

+44-6a．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，充分体会数形结合思想在（Ⅱ）问中的应用．