Question

已知函数f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8，若max{p，q}表示p，q中较大者，min{p，q}表示p，q中的较小者，设G（x）=max{f（x），g（x）}，H（x）=min{f（x），g（x）}，记G（x）的最小值为A，H（x）的最大值为B，则A-B=

 

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Answer 1

分析：由f（x）=g（x）求出x的值，讨论G（x）、H（x）的解析式，得出A与B的表达式，从而计算A-B的值．

解答：解：∵f（x）=x²-2（a+2）x+a²，
g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8，如图，；
设h（x）=f（x）-g（x）=2x²-4ax+2a²-8=2（x-a）²-8．
①当2（x-a）²-8=0时，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②当h（x）＞0时，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f（x）＞g（x）；
③当h（x）＜0时，解得a-2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上，（1）当x≤a-2时，则G（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+2）]²-4a-2，
H（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-2）]²-4a+12，
（2）当a-2≤x≤a+2时，G（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则G（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
∴A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]²-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
故答案为：-16．

点评：本题考查了新定义下的二次函数的值域问题，熟练掌握作差法、正确理解题意，求出A与B的表达式，是解本题的关键．