Question

（本题满分14分）
数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.
（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，
(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因为，所以,.
因为,所以,.
因为,所以,.
所以.   …………………………………… 2分
由此猜想，当时,，则，.… 3分
下面用数学归纳法证明：
①当时，已证成立.                                            
②假设当（，且）猜想成立，
即，，.
当时，由，得，则，.
综上所述，猜想成立.
所以.
故.      ……………………………………………… 6分
（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，
与矛盾，因此不成立，     …………… 7分
所以有，从而有，所以.           
当时，，,
所以;      …………………… 8分
当时，总有成立.
又，
所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，,
又因为，所以.  …………………………… 10分
（Ⅲ）证明：由题意得
.
因为，所以.
所以数列是单调递增数列.           …………………………………… 11分
因此要证,只须证.
由，则<，即.…… 12分
因此
.
所以.
故当,恒有.      …………………………………………………14分
 

略