Question

5．已知函数$f（x）=2{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）-m=1在$[{-\frac{5π}{12}，0}]$上有两个不等实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得：f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，利用周期公式可求最小正周期，由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ，（k∈Z）$，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由$x∈[-\frac{5π}{12}，0]$，可求$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[0，1]$，函数f（x）的值域为[1，3]，由f（x）有两个不等实数解，利用余弦函数的图象和性质可得：f（x）∈[2，3），而f（x）=m+1，从而可得2≤m+1＜3，即可解得m的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx=2•\frac{1+cos2x}{2}-\sqrt{3}sin2x$=$1+cos2x-\sqrt{3}sin2x=2cos（2x+\frac{π}{3}）+1$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ，（k∈Z）$，解得，$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}，（k∈Z）$．
∴函数f（x）的单调递增区间为：$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]，（k∈Z）$．
（2）∵$x∈[-\frac{5π}{12}，0]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}]$，
∴$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[0，1]$，
∴函数f（x）的值域为[1，3]，
而方程f（x）-m=1，变形为f（x）=m+1，
∵f（x）有两个不等实数解，利用余弦函数的图象和性质可得：f（x）∈[2，3），
∴2≤m+1＜3，即1≤m＜2，
∴m∈[1，2）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，不等式的解法及应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．