Question

10．如图，直线y=kx与函数y=lnx相切于点P（m，n），则函数f（x）=lnx-kx在x=e处，取得极大值，为0．

Answer 1

分析 根据导数的几何意义，求出k的值，在求导，根据导数和函数的极值的关系即可求出．

解答 解：直线y=kx与函数y=lnx相切于点P（m，n），
∴y′=$\frac{1}{x}$，
∴k=$\frac{1}{m}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{km=1}\\{km=n}\\{lnm=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{e}}\\{m=e}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=lnx-$\frac{1}{e}$x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜e，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＞e，函数f（x）单调递减，
∴当x=e时，函数f（x）有最大值．最大值为f（e）=lne-1=0，
故答案为：e，大，0．

点评 本题考查了导数的几何意义和导数和极值的关系，属于中档题．