Question

如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|＝，|BC|＝2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：(x－1)²＋y²＝2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1∶3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵∴ 　　　2分 　　∴∴　4分 　　依椭圆的定义有： 　　∴，　6分 　　又，∴　7分 　　∴椭圆的标准方程为　8分 　　(求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分．) 　　(2)椭圆的右顶点，圆圆心为，半径． 　　假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧， 　　则，圆心到直线的距离　10分 　　当直线斜率不存在时，的方程为， 　　此时圆心到直线的距离(符合)　11分 　　当直线斜率存在时，设的方程为，即， 　　∴圆心到直线的距离，无解　13分 　　综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为　14分．