Question

(2006·湖南)已知椭圆：，抛物线：(p＞0)，且，的公共弦AB过椭圆的右焦点．

(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线的焦点是否在直线AB上；

(2)是否存在m、p的值，使抛物线的焦点恰在直线AB上?若存在，求出符合条件的m，p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称， ∴m=0，直线AB的方程为x=1． ∴点A的坐标为或． ∵点A在抛物线上，∴，即． 此时的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上． (2)假设存在m，p的值使的焦点恰在直线AB上，由(1)知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k(x－1)． 由消去y得 ．　　　　　　　　① 设A、B的坐标分别为，， 则、是方程①的两根，． 由消去y，得．② 因为的焦点F在y=k(x－1)上， 所以，即，代入②有． 即．　　　　　　　　③ 因为，也是方程③的两根，所以． 从而，．　④ 又AB过、的焦点，所以 ． 则．　　⑤ 由④⑤得 ， 即，解得．即． 因为的焦点在直线y=k(x－1)上， 所以．即或． 当时，直线AB的方程为； 当时，直线AB的方程为．