Question

(2006·湖南益阳)如下图，已知长方体，AB=2，，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦值；

(2)求平面BDF与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)求点A到平面BDF的距离．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：在长方体中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，由已知AB=2，，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)． 又AD⊥平面，从而BD与平面所成的角为∠DBA=30°，又AB=2，AE⊥BD，AE=1，，从而易得，． (1)因为，， 所以．易知异面直线AE、BF所成的角的余弦值是． (2)易知平面的一个法向量m=(0，1，0)，设n(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，． 由 即，所以，即平面BDF与平面所成的锐二面角的余弦值是． (3)点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值， 所以距离．所以点A到平面BDF的距离为．