Question

(2006湖南，18)如下图，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB=4．

(1)证明：PQ⊥平面ABCD；

(2)求异面直线AQ与PB所成的角；

(3)求点P到平面QAD的距离．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)连结AC、BD，设AC∩BD=O，因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面AB－CD，从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD． (2)由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 由(1)知，PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0，0，1)，，Q(0，0，－2)，． 所以，． 于是． 从而异面直线AQ与PB所成的角是． (3)由(2)知，点D的坐标是，，， 设n=(x，y，z)是平面QAD的一个法向量，由得． 取x=1，得． 所以点P到平面QAD的距离．