Question

在底面边长为a，侧棱长为2a的正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，求：

(1)点B到平面AB₁C的距离；

(2)以B₁C为棱，AB₁C和BB₁C为面所成二面角的正切值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图，设点E为AC的中点，作BO⊥B1E于O， ∵AC⊥BE，BB1⊥平面ABCD． ∴AC⊥平面BB1E．又BO面BB1E， ∴AC⊥BO．B1E∩AC=E， ∴BO⊥平面AB1C， ∴BO为B到平面AB1C的距离． 在Rt△B1BE中，BE=a，BB1=2a， ∴B1E=． 由面积关系得BO=． (2)由BO⊥平面AB1C，AF⊥B1C， ∴BF⊥B1C， ∴∠BFA是二面角A—B 1C—B的平面角． 在Rt△BB1C中，BF·B1C=BB1·BC． ∴BF=a． ∴tanBFA=AB∶BF=． 点评：(2)中作二面角用的方法是较常用的方法，这种方法的步骤是：过二面角的一个面内的一点(本例中的点B)向另一个半平面作垂线，再过垂足(本例中的点O)向棱(本例中的B1C)作垂线(本例中的OF)，再连结BF，则由三垂线定理知∠BFO为二面角A—B1C—B的平面角．