Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），其中α≠kπ+

π

2

，β≠kπ+

π

2

，α+β≠kπ+

π

2

，k∈Z．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）定义数列a_n，a1=

1

2

，a_n+1²=2a_nf（a_n），（n∈N^*）
①证明数列{

1

a 2 n

-2}是等比数列；
②设bn=

1

a 2 n

-2，S_n为数列b_n的前n项和，求使Sn＞

63

16

成立的最小n的值．

Answer 1

分析：（1）分别把题设等式中两边变形后利用两角和公式展开整理求得tan（α+β）=2tanα，然后利用正切的两角和公式展开后，用x和y表示，整理出y关于x的函数解析式．
（2）①利用（1）中函数的解析式整理求得理

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)，利用等比数列的定义判定出数列{

1

a n 2

-2}为等比数列．
②利用（2）可求得数列{

1

a n 2

-2}的通项公式，进而求得b_n，利用等比数列的求和公式求得S_n的表达式，利用题设不等式求得n的范围，则n的最小值可得．

解答：解：（1）sin（2α+β）=3sinβ变形得sin[α+（α+β）]=3sin[（α+β）-α]
化简得tan（α+β）=2tanα
所以2tanα=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，所以2x=

x+y

1-xy

，
从而y=f(x)=

x

1+2x2

；
（2）①由

a

2 n+1

=2anf(an)=

2an

1+2 a 2 n

，变形得

1

a 2 n+1

=

1

2

•

1

a 2 n

+1，
整理得

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
所以数列{

1

a 2 n

-2}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．
②bn=

1

a 2 n

-2=

1

2n-2

，所以Sn=4(1-

1

2n

)，
令4(1-

1

2n

)＞

63

16

，则2ⁿ＞64=2⁶，所以n＞6，
所以n的最小值为7．

点评：本题主要考查了三角函数与数列的综合．数列是高考中的热点问题，一般要与函数，不等式，三角函数，对数函数等问题综合考查，平时应注意这方面的练习．