Question

【题目】已知奇函数对任意，总有，且当时，，.

（1）求证：是上的减函数；

（2）求在上的最大值和最小值；

（3）若，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为，最小值为；（3）.

【解析】

试题分析：(1)令,再令即可证得,利用函数的单调性的定义与奇函数的性质,结合已知即可证得是上的减函数；(2)利用在上是减函数可以知道在上也是减函数,易求,从而可求得在上的最大值和最小值；(3)根据题意, ,从而可求实数的取值范围.

试题解析：（1）证明：令，则，令，则.

在上任意取，且，则，

.

,又时，.

即，有定义可知函数在上为单调递减函数.

（2）在上是减函数，在上也是减函数.

又，

由可得.

故在上最大值为，最小值为.

（3），由（1）、（2）可得，

，故实数的取值范围为